不可避免的貧乏性

第一個原則的一般性,但也是這個一般性讓回問得以可能:
幾何學意義的統一體(性)是傳統的統一性


幾何學作為一種傳統,這樣的分析是貧乏的
幾何學是一種「歷史」,只因為它是「一種」歷史的。(所有人所共享的同一種)
不管幾何學法展出再多的變形,它都是「這個」幾何學,它的統一性的基礎是「這個」世界(不是感性存在的有限總體(totalité),而是可能經驗的無限總體)
這個幾何學的統一性,也是它的「一性」(unicité),不侷限于特定的幾何學系統的融貫
這個傳統中的意義統一性無限地向「幾何學的」所有革命開放
對於這種統一性,所要提的問題就是:在怎樣的歷史條件下,一切的幾何學才已經是或將是幾何學?
(過去現在與將來,幾何學如何成其為幾何學?)

幾何學意義的統一體不是抽象得來的普遍概念(我們有這種幾何系統與那種幾何系統,抽象之後有個更高層的幾何學的「類」),而是具體的原初本質,(有一個本質可以讓我們規定一個東西(包括未來出現的東西)是不是幾何學)
這個統一性也不可以混淆於「作為ideal object的幾何學」這個概念,這個概念是關於某種「定義的」法理學(nomologie)(依靠定義規定了這個東西算不算幾何學),與窮盡的可演繹性(déductivité exhaustive)
根據哥德爾定理,不可能有一個公理系統可以完全決定它內部的東西。

哥德爾定理:
任何相容的形式系統,只要蘊涵皮亞諾算術公理,就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題(即體系是不完備的)。


皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下:

  1. 1是自然數;
  2. 每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a' ,a' 也是自然數(一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數,例如,1的後繼數是2,2的後繼數是3等等);
  3. 如果自然數b、c的後繼數都是自然數a,那麼b = c;
  4. 1不是任何自然數的後繼數;
  5. 任意關於自然數的命題,如果證明了它對自然數1是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n' 也真,那麼,命題對所有自然數都真。(這條公理保證了數學歸納法的正確性)



p. 53

但是,對於可不可能找出一個決定何者是幾何學的這種本質(不管是作為規範性的理想,還是實際中技術與方法論的規則),這些討論(包括可決定性或不可決定性的討論),難道不是本身就處在數學或幾何學當中嗎?
(當我們開始討論哥德爾定理的不可決定性,不就已經預設我們知道數學是什麼了嗎?)
不可決定性只有在通過與可決定性的理想之間的關係,才能有其意義,但除此之外還有一種數學價值(是什麼?)
這些討論最後都只能同樣地歸於幾何學的意義統一性中。
(最後提出下一段要展開的問題)為了要談論可決定或不可決定,為了要談論一致或悖謬之外的「第三種可能」(不可決定),客觀的顯題的幾何學或數學領域必須要已經構成

p. 54

如果意義的統一性與數學的起源跟完備的演繹性這個理想連結在一起,那麼〈起源〉的問題一開始就沾染了一種歷史的相對性。
換言之,如果Husserl的原創建(la fondation originaire)指的是(完備的)公理系統的建立,那麼就會遭受到哥德爾定律的威脅(不可能完備,因此不可能有幾何學統一性)
但並非如此,公理系統的創建是第二性的,(下面引文)不可以搞混公理的明見性與幾何學得原初明見性
Last modified: Monday, 30 December 2013, 3:40 PM